Журналов:     Статей:        

Математика и математическое моделирование. 2016; : 30-44

Вариационная формулировка задачи стационарной теплопроводности в пластине при возрастающем с температурой коэффициенте поглощения проникающего излучения

Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н., Савельева И. Ю.

https://doi.org/10.7463/mathm.0616.0848075

Аннотация

В технике находят применение конструкционные и теплозащитные материалы, которые в условиях радиационного воздействия поглощают излучение как на поверхности, так и в объеме. Процессы поглощения проникающего излучения материалами и элементами конструкций характерны для ряда технологических операций и эксплуатационных режимов для различных технических устройств. Поглощение проникающего в объем материала излучения может существенно повлиять на температурное состояние и работоспособность конструкции, выполненной из такого материала.

Процесс поглощения материалом проникающего излучения связан с переходом энергии электромагнитной волны в энергию возбуждения микрочастиц этого материала, что в конечном итоге приводит к повышению внутренней энергии и росту температуры. При прохождении излучения через слой материала плотность его потока, а значит и энергия проникающего излучения уменьшаются по экспоненциальному закону с увеличением расстояния от облучаемой поверхности слоя, экспериментально установленному французским физиком П.Бугером и носящему его имя. В общем случае некоторая доля этой энергии излучается и рассеивается в объеме материала, а остальная часть поглощается. Основой математической модели, описывающей эти процессы, является уравнение переноса энергии излучения.

При математическом моделировании термомеханических процессов возникает необходимость учитывать влияние проникающего излучения на температурное состояние материалов и элементов конструкций. При этом закон Бугера применяют и тогда, когда допустимо пренебречь объемным излучением и рассеянием проникающего излучения в материале, но необходимо учитывать его поглощение. В таком случае отрицательный показатель экспоненциальной функции представляют произведением расстояния от облучаемой поверхности и интегрального или некоторого усредненного коэффициента поглощения, постоянного для данного материала и спектрального состава проникающего излучения. Однако с увеличением мощности проходящего через слой материала излучения возникает зависимость коэффициента поглощения от локальной интенсивности этого излучения. Кроме того,может быть существенной зависимость этого коэффициента от локального значения температуры материала, отражающая упомянутую выше связь поглощения энергии электромагнитной волны с возбуждением микрочастиц материала. Этот процесс можно описать при помощи функции распределения Больцмана, содержащей энергию активации микрочастиц и локальное значение температуры.

В данной работе представлена вариационная формулировка нелинейной задачи стационарной теплопроводности в пластине для случая, когда коэффициент поглощения проникающего излучения в соотношении для закона Бугера зависит от локального значения температуры. Эта формулировка включает функционал, который может иметь несколько стационарных точек, соответствующих различным установившимся температурным состояниям пластины. Анализ свойств этого функционала позволил выделить стационарные точки, соответствующие реализуемым распределениям температуры в пластине.

Список литературы

1. Елисеев В.Н., Товстоног В.А. Теплообмен и тепловые испытания материалов и конструкций аэрокосмической техники при радиационном нагреве. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. 396 с.

2. Зарубин В.С. О работоспособности оболочки с объемным поглощением проникающего излучения // Труды МВТУ им. Н.Э. Баумана. 1974. № 205. С. 105–109.

3. Зигель Р., Хаузлл Дж. Теплообмен излучением: пер. с англ. М.: Мир, 1975. 936 с.

4. Мучник Г.Ф., Рубашов И.Б. Методы теории теплообмена. Ч. 2. Тепловое излучение. М.: Высшая школа, 1974. 272 с.

5. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М. Прохоров. М.: Сов. энциклопедия, 1983. 928 с.

6. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математическое моделирование термомеханических процессов при интенсивном тепловом воздействии // Теплофизика высоких температур. 2003. Т. 41. № 2. С. 300–309.

7. Зарубин В.С., Станкевич И.В. Расчет теплонапряженных конструкций. М.: Машиностроение, 2005. 352 с.

8. Зарубин В.С. Моделирование. М.: Издательский центр «Академия», 2013. 336 с.

9. Глаголев К.В., Морозов А.Н. Физическая термодинамика. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. 272 с.

10. Зарубин В.С., Селиванов В.В. Вариационные и численные методы механики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. 360 с.

11. Зарубин В.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983. 328 с.

12. Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 700 с.

13. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 488 с.

14. Аттетков А.В., Зарубин В.С., Канатников А.Н. Введение в методы оптимизации. М.: НИЦ ИНФРА-М, 2008. 272 с.

15. Аттетков А.В., Зарубин В.С., Канатников А.Н. Методы оптимизации. М.: ИЦ РИОР, 2012. 270 с.

Mathematics and Mathematical Modeling. 2016; : 30-44

A Variationally Formulated Problem of the Stationary Heat Conduction in a Plate with Radiation Reduction Factor Increased under Temperature

Zarubin V. S., Kuvyrkin G. N., Savel'eva I. Yu.

https://doi.org/10.7463/mathm.0616.0848075

Abstract

The equipment uses heat-shielding and structural materials that, when exposed, absorb radiation both on the surface and in the volume. In a variety of technical devices, absorption processes of penetrating radiation of materials and structural elements are typical for a number of process steps and operating conditions. Absorption of radiation penetrating into material volume may significantly affect the temperature state and runability of construction made of such material.

The process of material-absobed penetrating radiation is associated with transition of the electromagnetic wave energy into the excitation energy of this material microparticles that, after all, leads to increasing internal energy and temperature growth. With radiation passing through the layer of material its flow density and hence energy of penetrating radiation decreases exponentially with increasing distance from the exposed layer surface. This law was experimentally established by the French physicist P. Bouguer and bears his name. In general, a certain fraction of this energy is radiated and dissipated in the material volume, and the rest is absorbed. A mathematical model describing these processes is an equation of the radiative energy transfer.

In mathematical modeling of thermomechanical processes there is a need to consider the effect of penetrating radiation on the temperature state of materials and construction elements. The P. Bouguer law is used also when the volume radiation and scattering of penetrating radiation in the material can be neglected, but it is necessary to take into account its absorption. In this case, a negative indicator of the exponential function is represented by the product of the distance from the irradiated surface and integral or some average absorption factor that is constant for a given material and spectral distribution of penetrating radiation. However, with increasing power of radiation passing through the material layer there is a dependence of the absorption factor on the local intensity of this radiation. Furthermore, it can be a significant dependence of this factor on the local value of the material temperature, reflecting the above-mentioned relationship between the absorption of electromagnetic wave energy and the excitation of material microparticles. This process can be described by Boltzmann distribution function that comprises the energy to activate microparticles and the local value of temperature.

This paper presents a variational formulation of the nonlinear problem of stationary heat conduction in a plate for the case when the radiation reduction factor in relation to the Bouguer law depends on the local temperature. This formulation includes a functional that can have several fixed points corresponding to different steady states of the plate temperature. Analysis of the properties of this functional enabled us to identify the stationary points, which correspond to the realized temperature distribution in the plate.

References

1. Eliseev V.N., Tovstonog V.A. Teploobmen i teplovye ispytaniya materialov i konstruktsii aerokosmicheskoi tekhniki pri radiatsionnom nagreve. M.: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2014. 396 s.

2. Zarubin V.S. O rabotosposobnosti obolochki s ob\"emnym pogloshcheniem pronikayushchego izlucheniya // Trudy MVTU im. N.E. Baumana. 1974. № 205. S. 105–109.

3. Zigel' R., Khauzll Dzh. Teploobmen izlucheniem: per. s angl. M.: Mir, 1975. 936 s.

4. Muchnik G.F., Rubashov I.B. Metody teorii teploobmena. Ch. 2. Teplovoe izluchenie. M.: Vysshaya shkola, 1974. 272 s.

5. Fizicheskii entsiklopedicheskii slovar' / Gl. red. A.M. Prokhorov. M.: Sov. entsiklopediya, 1983. 928 s.

6. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskoe modelirovanie termomekhanicheskikh protsessov pri intensivnom teplovom vozdeistvii // Teplofizika vysokikh temperatur. 2003. T. 41. № 2. S. 300–309.

7. Zarubin V.S., Stankevich I.V. Raschet teplonapryazhennykh konstruktsii. M.: Mashinostroenie, 2005. 352 s.

8. Zarubin V.S. Modelirovanie. M.: Izdatel'skii tsentr «Akademiya», 2013. 336 s.

9. Glagolev K.V., Morozov A.N. Fizicheskaya termodinamika. M.: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2007. 272 s.

10. Zarubin V.S., Selivanov V.V. Variatsionnye i chislennye metody mekhaniki sploshnoi sredy. M.: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 1993. 360 s.

11. Zarubin V.S. Inzhenernye metody resheniya zadach teploprovodnosti. M.: Energoatomizdat, 1983. 328 s.

12. Vlasova E.A., Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Priblizhennye metody matematicheskoi fiziki. M.: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2004. 700 s.

13. Van'ko V.I., Ermoshina O.V., Kuvyrkin G.N. Variatsionnoe ischislenie i optimal'noe upravlenie. M.: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2001. 488 s.

14. Attetkov A.V., Zarubin V.S., Kanatnikov A.N. Vvedenie v metody optimizatsii. M.: NITs INFRA-M, 2008. 272 s.

15. Attetkov A.V., Zarubin V.S., Kanatnikov A.N. Metody optimizatsii. M.: ITs RIOR, 2012. 270 s.